Если площадь боковой поверхности цилиндра. Цилиндр: площадь боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности цилиндра

Название науки «геометрия» переводится как "измерение земли". Зародилась стараниями самых первых древних землеустроителей. А было так: во время разливов священного Нила потоки воды иногда смывали границы участков земледельцев, а новые границы могли не совпасть со старыми. Налоги же крестьянами уплачивались в казну фараона пропорционально величине земельного надела. Измерением площадей пашни в новых границах после разлива занимались специальные люди. Именно в результате их деятельности и возникла новая наука, получившая развитие в Древней Греции. Там она и название получила, и приобрела практически современный вид. В дальнейшем термин стал интернациональным названием науки о плоских и объёмных фигурах.

Планиметрия - раздел геометрии, занимающийся изучением плоских фигур. Другим разделом науки является стереометрия, которая рассматривает свойства пространственных (объёмных) фигур. К таким фигурам относится и описываемая в этой статье - цилиндр.

Примеров присутствия предметов цилиндрической формы в повседневной жизни предостаточно. Цилиндрическую (гораздо реже - коническую) форму имеют почти все детали вращения - валы, втулки, шейки, оси и т.д. Цилиндр широко используется и в строительстве: башни, опорные, декоративные колонны. А кроме того посуда, некоторые виды упаковки, трубы всевозможных диаметров. И наконец - знаменитые шляпы, ставшие надолго символом мужской элегантности. Список можно продолжать бесконечно.

Определение цилиндра как геометрической фигуры

Цилиндром (круговым цилиндром) принято называть фигуру, состоящую из двух кругов, которые при желании совмещаются с помощью параллельного переноса. Именно эти круги и являются основаниями цилиндра. А вот линии (прямые отрезки), связывающие соответствующие точки, получили название «образующие».

Важно, что основания цилиндра всегда равны (если это условие не выполняется, то перед нами - усечённый конус, что-либо другое, но только не цилиндр) и находятся в параллельных плоскостях. Отрезки же, соединяющие соответствующие точки на кругах, параллельны и равны.

Совокупность бесконечного множества образующих - не что иное, как боковая поверхность цилиндра - один из элементов данной геометрической фигуры. Другая её важная составляющая - рассмотренные выше круги. Называются они основаниями.

Виды цилиндров

Самый простой и распространённый вид цилиндра - круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.

Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.

По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр - наклонный.

Что такое поверхность вращения

Прямой круговой цилиндр, без сомнения - самая распространённая поверхность вращения, используемая в технике. Иногда по техническим показаниям применяется коническая, шарообразная, некоторые другие типы поверхностей, но 99% всех вращающихся валов, осей и т.д. выполнены именно в форме цилиндров. Для того чтобы лучше уяснить, что такое поверхность вращения, можно рассмотреть, как же образован сам цилиндр.

Допустим, имеется некая прямая a , расположенная вертикально. ABCD - прямоугольник, одна из сторон которого (отрезок АВ) лежит на прямой a . Если вращать прямоугольник вокруг прямой, как это показано на рисунке, объём, который он займёт, вращаясь, и будет нашим телом вращения - прямым круговым цилиндром с высотой H = AB = DC и радиусом R = AD = BC.

В данном случае, в результате вращения фигуры - прямоугольника - получается цилиндр. Вращая треугольник, можно получить конус, вращая полукруг - шар и т.д.

Площадь поверхности цилиндра

Для того чтобы вычислить площадь поверхности обычного прямого кругового цилиндра, необходимо подсчитать площади оснований и боковой поверхности.

Вначале рассмотрим, как вычисляют площадь боковой поверхности. Это произведение длины окружности на высоту цилиндра. Длина окружности, в свою очередь, равняется удвоенному произведению универсального числа П на радиус окружности.

Площадь круга, как известно, равняется произведению П на квадрат радиуса. Итак, сложив формулы для площади определения боковой поверхности с удвоенным выражением площади основания (их ведь два) и произведя нехитрые алгебраические преобразования, получаем окончательное выражение для определения площади поверхности цилиндра.

Определение объёма фигуры

Объем цилиндра определяется по стандартной схеме: площадь поверхности основания умножается на высоту.

Таким образом, конечная формула выглядит следующим образом: искомое определяется как произведение высоты тела на универсальное число П и на квадрат радиуса основания.

Полученная формула, надо сказать, применима для решения самых неожиданных задач. Точно так же, как объем цилиндра, определяется, например, объём электропроводки. Это бывает необходимо для вычисления массы проводов.

Отличия в формуле только в том, что вместо радиуса одного цилиндра стоит делённый надвое диаметр жилы проводки и в выражении появляется число жил в проводе N . Также вместо высоты используется длина провода. Таким образом рассчитывается объем «цилиндра» не одного, а по числу проводков в оплётке.

Такие расчёты часто требуются на практике. Ведь значительная часть ёмкостей для воды изготовлена в форме трубы. И вычислить объем цилиндра часто бывает нужно даже в домашнем хозяйстве.

Однако, как уже говорилось, форма цилиндра может быть разной. И в некоторых случаях требуется рассчитать, чему равен объем цилиндра наклонного.

Отличие в том, что площадь поверхности основания умножают не на длину образующей, как в случае с прямым цилиндром, а на расстояние между плоскостями - перпендикулярный отрезок, построенный между ними.

Как видно из рисунка, такой отрезок равен произведению длины образующей на синус угла наклона образующей к плоскости.

Как построить развёртку цилиндра

В некоторых случаях требуется выкроить развёртку цилиндра. На приведённом рисунке показаны правила, по которым строится заготовка для изготовления цилиндра с заданными высотой и диаметром.

Следует учитывать, что рисунок приведен без учёта швов.

Отличия скошенного цилиндра

Представим себе некий прямой цилиндр, ограниченный с одной стороны плоскостью, перпендикулярной образующим. А вот плоскость, ограничивающая цилиндр с другой стороны, не перпендикулярна образующим и не параллельна первой плоскости.

На рисунке представлен скошенный цилиндр. Плоскость а под неким углом, отличным от 90° к образующим, пересекает фигуру.

Такая геометрическая форма чаще встречается на практике в виде соединений трубопроводов (колена). Но бывают даже здания, построенные в виде скошенного цилиндра.

Геометрические характеристики скошенного цилиндра

Наклон одной из плоскостей скошенного цилиндра слегка изменяет порядок расчёта как площади поверхности такой фигуры, так и ее объёма.

Площадь поверхности цилиндра. В этой статье мы рассмотрим задания связанные с площадью поверхности . На блоге уже рассмотрены задания с таким телом вращения как конус. Цилиндр тоже относится к телам вращения. Что требуется и нужно знать о площади поверхности цилиндра? Давайте посмотрим на развёртку цилиндра:

Верхнее и нижнее основание это два равных круга:

Боковая поверхность это прямоугольник. При чём одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая длине окружности основания. Напомню, что длина окружности равна:

Итак, формула поверхности цилиндра:

*Учить эту формулу не нужно! Достаточно знать формулы площади круга и длины его окружности, тогда вы всегда сможете записать указанную формулу. Важно её понимание! Рассмотрим задачи:

Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра (считайте, что число Пи равно 3,14 и результат округлите до десятых).

Площадь полной поверхности цилиндра:

Даны длина окружности основания и площадь боковой поверхности цилиндра. То есть, нам дана площадь прямоугольника и одна его сторона, требуется найти другую сторону (это есть высота цилиндра):

Требуется радиус и тогда мы сможем найти указанную площадь.

Длина окружности основания равна трём, тогда запишем:

Таким образом

Округляем до десятых, получаем 7,4.

Ответ: h = 2; S = 7,4

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72Пи, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.

Значит

Ответ: 8

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64Пи, а высота - 8 . Найдите диаметр основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Диаметр равен двум радиусам, значит:

Ответ: 8

27058. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на Пи.

27133. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Цилиндр (происходит из греческого языка, от слов "каток", "валик") - это геометрическое тело, которое ограничено снаружи поверхностью, называющейся цилиндрической, и двумя плоскостями. Данные плоскости пересекают поверхность фигуры и являются параллельными друг другу.

Цилиндрическая поверхность - это поверхность, которая получена прямой линии в пространстве. Эти движения таковы, что выделенная точка этой прямой линии совершает движение вдоль кривой плоского типа. Такая прямая линия называется образующей, а кривая линия - направляющей.

Цилиндр состоит из пары оснований и боковой цилиндрической поверхности. Цилиндры бывают нескольких видов:

1. Круговой, прямой цилиндр. У такого цилиндра основания и направляющая перпендикулярны образующей линии, и имеется

2. Наклонный цилиндр. У него угол между образующей линией и основанием не является прямым.

3. Цилиндр иной формы. Гиперболический, эллиптический, параболический и другие.

Площадь цилиндра, а также площадь полной поверхности любого цилиндра находится с помощью сложения площадей оснований этой фигуры и площади боковой поверхности.

Формула, по которой вычисляется полная площадь цилиндра для кругового, прямого цилиндра:

Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h+R).

Площадь боковой поверхности ищется чуть сложнее, чем площадь цилиндра целиком, она вычисляется путем умножения длины образующей линии на периметр сечения, образованного плоскостью, которая перпендикулярна образующей линии.

Данная цилиндра для кругового, прямого цилиндра узнается по развертке этого объекта.

Развертка - это прямоугольник, который имеет высоту h и длину P, которая приравнивается периметру основания.

Отсюда следует, что боковая площадь цилиндра является равной площади развертки и может быть вычислена по данной формуле:

Если взять круговой, прямой цилиндр, то для него:

P = 2п R, а Sb = 2п Rh.

Если цилиндр наклонный, то площадь боковой поверхности должна быть равна произведению длины его образующей линии и периметра сечения, которое перпендикулярно данной образующей линии.

К сожалению, не существует простой формулы для выражения площади боковой поверхности наклонного цилиндра через его высоту и параметры его основания.

Чтобы вычислить цилиндра, необходимо знать несколько фактов. Если сечение своей плоскостью пересекает основания, то такое сечение всегда является прямоугольником. Но эти прямоугольники будут разными, в зависимости от положения сечения. Одна из сторон осевого сечения фигуры, которое перпендикулярно основаниям, равна высоте, а другая - диаметру основания цилиндра. А площадь такого сечения, соответственно, приравнивается произведению одной стороны прямоугольника на другую, перпендикулярную первой, или произведению высоты данной фигуры на диаметр его основания.

Если сечение будет перпендикулярно основаниям фигуры, но не будет проходить через ось вращения, то площадь этого сечения будет равна произведению высоты этого цилиндра и определенной хорды. Чтобы получить хорду, нужно построить окружность у основания цилиндра, провести радиус и отложить на нем расстояние, на котором находится сечение. А от этой точки нужно провести перпендикуляры к радиусу от пересечения с окружностью. Точки пересечения соединяются с центром. А основание треугольника - это искомая которой ищется по звучит так: «Сумма квадратов двух катетов равна гипотенузе, возведенной в квадрат»:

С2 = А2 + В2.

Если сечение не затрагивает основания цилиндра, а сам цилиндр круговой и прямой, то площадь этого сечения находится как площадь окружности.

Площадь окружности равна:

S окр. = 2п R2.

Чтобы найти R, нужно ее длину C разделить на 2п:

R = C \ 2п, где п - число пи, математическая постоянная, вычисленная для работы с данными окружности и равная 3,14.

Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.

Какое тело является цилиндром?

В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.

Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.

В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.

Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Основные элементы цилиндра

Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.

Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.

Как связан цилиндр с вписанной в него или описанной около него призмой?

Иногда встречаются задачи, в которых нужно вычислить площадь цилиндра, а известны при этом некоторые элементы связанной с ним призмы. Как соотносятся эти фигуры?

Если призма вписана в цилиндр, то ее основания - равные многоугольники. Причем они вписаны в соответствующие основания цилиндра. Боковые ребра призмы совпадают с образующими.

У описанной призмы в основаниях находятся правильные многоугольники. Они описаны около кругов цилиндра, являющихся его основаниями. Плоскости, которые содержат грани призмы, касаются цилиндра по образующим.

О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра

Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:

S бок = l * н,

где н — образующая, l — длина окружности.

Причем последний параметр вычисляется по формуле:

l = 2 π * r,

здесь r — радиус окружности, π - число "пи", равное 3,14.

Поскольку основание - круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:

S осн = π * r 2 .

О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра

Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:

S пол = 2 π * r * н + 2 π * r 2 .

Часто ее записывают в другом виде:

S пол = 2 π * r (н + r).

О площадях наклонного кругового цилиндра

Что касается оснований, то там все формулы те же, ведь они по-прежнему круги. А вот боковая поверхность уже не дает прямоугольника.

Для расчета площади боковой поверхности наклонного цилиндра потребуется перемножить значения образующей и периметра сечения, которое будет перпендикулярно выбранной образующей.

Формула выглядит так:

S бок = х * Р,

где х — длина образующей цилиндра, Р — периметр сечения.

Сечение, кстати, лучше выбирать такое, чтобы оно образовывало эллипс. Тогда будут упрощены расчеты его периметра. Длина эллипса вычисляется по формуле, которая дает приблизительный ответ. Но его часто бывает достаточно для задач школьного курса:

l = π * (а + в),

где «а» и «в» — полуоси эллипса, то есть расстояния от центра до ближайшей и самой дальней его точек.

Площадь всей поверхности нужно вычислять с помощью такого выражения:

S пол = 2 π * r 2 + х * Р.

Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?

Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.

Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.

Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.

Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.

Примеры задач

Задание №1. Дан прямой цилиндр, площадь основания которого 12,56 см 2 . Необходимо вычислить полную площадь цилиндра, если его высота равна 3 см.

Решение. Необходимо воспользоваться формулой для полной площади кругового прямого цилиндра. Но в ней не хватает данных, а именно радиуса основания. Зато известна площадь круга. Из нее легко вычислить радиус.

Он оказывается равным квадратному корню из частного, которое получается от деления площади основания на пи. После деления 12,56 на 3,14 выходит 4. Квадратный корень из 4 — это 2. Поэтому радиус будет иметь именно такое значение.

Ответ: S пол = 50,24 см 2 .

Задание №2. Цилиндр с радиусом 5 см пресечен плоскостью, параллельной оси. Расстояние от сечения до оси равно 3 см. Высота цилиндра — 4 см. Требуется найти площадь сечения.

Решение. Форма сечения — прямоугольная. Одна его сторона совпадает с высотой цилиндра, а другая равна хорде. Если первая величина известна, то вторую нужно найти.

Для этого следует сделать дополнительное построение. В основании проводим два отрезка. Оба они будут начинаться в центре окружности. Первая будет заканчиваться в центре хорды и равняться известному расстоянию до оси. Вторая — на конце хорды.

Получится прямоугольный треугольник. В нем известны гипотенуза и один из катетов. Гипотенуза совпадает с радиусом. Второй катет равен половине хорды. Неизвестный катет, умноженный на 2, даст искомую длину хорды. Вычислим его значение.

Для того чтобы найти неизвестный катет, потребуется возвести в квадрат гипотенузу и известный катет, вычесть из первого второе и извлечь квадратный корень. Квадраты равны 25 и 9. Их разность - 16. После извлечения квадратного корня остается 4. Это искомый катет.

Хорда будет равна 4 * 2 = 8 (см). Теперь можно вычислить площадь сечения: 8 * 4 = 32 (см 2).

Ответ: S сеч равна 32 см 2 .

Задание №3. Необходимо вычислить площадь осевого сечения цилиндра. Известно, что в него вписан куб с ребром 10 см.

Решение. Осевое сечение цилиндра совпадает с прямоугольником, который проходит через четыре вершины куба и содержит диагонали его оснований. Сторона куба является образующей цилиндра, а диагональ основания совпадает с диаметром. Произведение этих двух величин даст площадь, которую нужно узнать в задаче.

Для поиска диаметра потребуется воспользоваться знанием того, что в основании куба - квадрат, а его диагональ образует равносторонний прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является искомой диагональю фигуры.

Для ее расчета потребуется формула теоремы Пифагора. Нужно возвести в квадрат сторону куба, умножить ее на 2 и извлечь квадратный корень. Десять во второй степени — это сто. Умноженное на 2 — двести. Квадратный корень из 200 равен 10√2.

Сечение - это снова прямоугольник со сторонами 10 и 10√2. Его площадь легко сосчитать, перемножив эти значения.

Ответ. S сеч = 100√2 см 2 .